베르누이 시도를 여러번 하여 얻은 총 성공 횟수 합이 이항 분포를 이루는 것처럼 독립적인 카테고리 분포를 여러번 시도하여 얻은 각 원소의 성공횟수 값은 다항 분포(Multinomial distribution)을 이룬다.
다항 분포는 확률 모수가 $\theta = (\theta_1, \cdots, \theta_K)$인 독립적인 카테고리 시도를 $N$번 반복해서 $k$가 각각 $x_k$번 나올 확률 즉, 벡터 $x = (x_1, \cdots, x_K)$가 나올 확률 분포를 말한다. $\text{Mu}(x;N,\theta) $와 같이 표기하며 다음과 같은 수식을 따른다.
$$ \text{Mu}(x;N,\theta) = \binom N x \prod_{k=1}^K \theta_k^{x_k} = \binom N {x_1, \cdots, x_K} \prod_{k=1}^K \theta_k^{x_k} $$이 식에서 $$ \binom N {x_1, \cdots, x_K} = \dfrac{N!}{x_1! \cdots x_K!} $$
다항 분포의 기댓값과 분산은 다음과 같다.
기댓값 $$\text{E}[x_k] = N\theta_k$$
분산 $$\text{Var}[x_k] = N\theta_k(1-\theta_k)$$
SciPy는 다항 분포를 위한 별도의 클래스나 명령어를 제공하지 않고 NumPy의 random 서브패키지에서 다항 분포 샘플 생성을 하는 multinomial 명령어를 지원한다.
n 인수는 시행 횟수 $N$을 설정하고 pvals에 모수 벡터 $\theta$를 설정한다.
In [19]:
np.random.seed(0)
N = 30
theta = np.array([0, 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4])
X = np.random.multinomial(N, theta, size=100)
X[:5]
Out[19]:
In [20]:
plt.boxplot(X)
plt.show()
In [21]:
df = pd.DataFrame(X).stack().reset_index()
df.columns = ["trial", "class", "binomial"]
df.head()
Out[21]:
In [28]:
sns.boxplot(x="class", y="binomial", data=df)
sns.stripplot(x="class", y="binomial", data=df, jitter=True, color=".3")
plt.show()
In [29]:
sns.violinplot(x="class", y="binomial", data=df, inner="quartile")
sns.stripplot(x="class", y="binomial", data=df, jitter=True, color=".3")
plt.show()